LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI E IL NUMERO AUREO
Leonardo Fibonacci (1170 – 1242 circa) e' stato uno dei piu' grandi matematici del Medioevo. Le sue opere piu' famose sono:
Liber Abaci (1202) - un trattato di aritmetica e di algebra con il quale, all'inizio del XIII secolo, Fibonacci introdusse, in Europa, il sistema numerico decimale indo-arabico ed i principali metodi di calcolo ad esso associati. La serie di numeri che oggi e' nota come “successione di Fibonacci” fa parte di questo trattato.
Practica geometriae (1220) - un importante trattato sulla pratica della geometria, nel quale viene applicata l'algebra per la soluzione di problemi geometrici.
Liber quadratorum (1225) - un trattato di algebra.
La successione di Fibonacci nasce dalla soluzione di un problema il cui argomento riguardava la crescita di una popolazione di conigli, partendo da una coppia genitrice iniziale. Il testo del problema era questo:
″Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da pareti per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno (per natura ogni mese le coppie di conigli generano un'altra coppia e cominciano a procreare nel secondo mese dalla nascita)”.
La soluzione a questo problema, trovata da Fibonacci, e' schematizzata nella seguente tabella:
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Mesi |
Evoluzione nascite |
Numero di coppie di conigli |
Funzione |
|
|
0 |
All'inizio dell'osservazione la popolazione di conigli e' composta dalla prima coppia A non fertile. |
A |
1 |
F(0)=1 |
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1 |
Dopo un mese, ci sara' ancora una sola coppia A, che pero' e' diventata fertile e potra' accoppiarsi. |
A |
1 |
F(1)=1 |
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2 |
Il mese successivo di osservazione si avranno due coppie, di cui una fertile A, pronta ad accoppiarsi nuovamente ed una non fertile B, nata da A. |
A B |
2 |
F(2)=2--->F(0)+F(1)=1+1=2
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3 |
Dopo tre mesi la coppia fertile A genera un'altra coppia C (non fertile), mentre la coppia B sara' diventata fertile e sara' pronta ad accoppiarsi nuovamente. In totale si avranno tre coppie di conigli. |
A C B |
3 |
F(3)=3--->F(2)+F(1)=2+1=3 |
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4 |
Il mese successivo si avra' una nuova coppia D (non fertile), nata dalla prima coppia fertile A, e ci sara' un'altra nuova coppia E (non fertile), nata dalla seconda coppia fertile B; mentre la terza coppia C sara' diventata fertile. Si avranno in totale cinque coppie di conigli. |
A D C B E |
5 |
F(4)=5--->F(3)+F(2)=3+2=5 |
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5 |
Dopo il quinto mese si avra' una nuova coppia F (non fertile) generata dalla coppia fertile A; la coppia D diventa fertile; la coppia fertile C genera un'altra coppia G (non fertile) ed anche la coppia fertile B genera una nuova coppia H (non fertile), mentre la coppia E diventa fertile. Il numero totale di coppie di conigli sara' dunque pari a otto. |
A F D C G B H E |
8 |
F(5)=8--->F(4)+F(3)=5+3=8
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In definitiva, per ognuno dei mesi presi in esame, le coppie che compongono la popolazione di conigli sono in numero pari a: 1, 1, 2, 3, 5, 8. |
||||
In questo modo si puo' procedere all'infinito. Cio' che si nota subito e' che ogni numero della serie e' uguale alla somma dei due numeri precedenti. Quindi, la popolazione di conigli crescera' nel seguente modo:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …
questa e' la successione di Fibonacci.
La regola generale relativa ai numeri di Fibonacci e':
con n = numero di mesi.
La successione di Fibonacci e' correlata al numero aureo φ = 1,618033... poiche':
il rapporto tra due termini consecutivi della successione di Fibonacci tende ad approssimare sempre meglio il numero aureo φ.
Infatti:
F(2)/F(1) = 2/1 = 2
F(3)/F(2) = 3/2 = 1,5
F(4)/F(3) = 5/3 = 1,6666........
F(5)/F(4) = 8/5 = 1,6
F(6)/F(5) = 13/8 = 1,625
F(7)/F(6) = 21/13 = 1,615384615384........
.......................................................
lim F(n)/F(n-1) = (1+ √5)/2 = φ
n->∞
La formula generale che permette di ricavare il termine generico della successione di Fibonacci, partendo dal numero aureo φ, e':
