LA SPIRALE LOGARITMICA

Questa figura geometrica fu studiata per la prima volta nel 1638 dal filosofo e matematico francese Cartesio (1596 – 1650). Si tratta della traiettoria di un punto che si muove su una semiretta, di moto uniformemente accelerato, mentre la semiretta ruota con velocita' angolare costante attorno alla sua origine (polo della spirale):

La proprieta' della spirale logaritmica e' l'autosomiglianza. In pratica, il passo della spirale, cioe' la distanza tra gli avvolgimenti successivi di questa figura geometrica, non rimane invariato, ma ogni raggio vettore e' piu' lungo del precedente secondo un rapporto costante che permette alla curva di non cambiare forma.

Il matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654 – 1705) chiamo' questa curva “Spira mirabilis” (Spirale meravigliosa). L'aggettivo “mirabilis” si riferisce esattamente alla proprieta' di “autosomiglianza” che permette alla curva di mantenere la sua forma originaria anche quando viene ingrandita o ridotta.

Bernoulli volle che, sulla sua tomba, fosse scolpita la “spirale meravigliosa” con la frase:

Eadem mutata resurgo

ovvero:

Sebbene diversa, rinasco identica.

Sfortunatamente, sulla sua lapide fu incisa una spirale uniforme, come mostra la figura:

L'espressione matematica della spirale logaritmica in coordinate polari (ρ, θ) e':

ρ = ab^θ

dove a e b sono due numeri reali. In particolare, al variare di “a” si modificano le dimensioni della spirale e la rotazione della curva; invece “b” indica la direzione di avvolgimento della curva:

Il nome “spirale logaritmica” e' associato all'espressione matematica ρ = ab^θ che la descrive, dalla quale si ricava che:

b^θ = ρ/a

quindi:

θ = log_b(ρ/a)