SEZIONE AUREA

La sezione aurea e' la divisione di un segmento in due parti tali che la parte maggiore del segmento sia medio proporzionale tra l'intero segmento e la sua parte minore.

In pratica, partendo da un segmento AB, se un suo punto interno C e' tale da soddisfare la proporzione:

AB : AC = AC : CB

ovvero

AC² = AB x CB

allora si dice che la parte AC del segmento AB e' medio proporzionale tra tutto il segmento AB e la sua parte rimanente CB. Quindi:

AC e' la sezione (o parte) aurea del segmento AB, definita anche media ragione.

Il rapporto tra l'intero segmento AB e la sua sezione aurea e' detto rapporto aureo.

Il rapporto aureo e' espresso numericamente da un numero irrazionale, chiamato “numero aureo” e comunemente indicato con la lettera φ dall'iniziale del nome dello scultore greco Fidia che lo utilizzo' per progettare il Partenone di Atene:

φ = AB/AC = (1 + √5)/2 = 1,6180339887...

DIVISIONE DI UN GENERICO SEGMENTO IN RAPPORTO AUREO

La figura che segue illustra, attraverso una sequenza di disegni, la divisione di un generico segmento AB in rapporto aureo:

Fonte immagine: https://online.scuola.zanichelli.it/fava-geometriaedisegno/files/2015/02/AppB2-5_Sezione-aurea_Mondrian.pdf

CALCOLO DEL RAPPORTO AUREO

In figura, la lunghezza del segmento AB e' stata indicata con la lettera “a” e con la lettera “x” e' stata indicata la lunghezza della parte maggiore AC del segmento AB, precedentemente definita “sezione aurea”.

Il rapporto aureo si calcola partendo dalla seguente proporzione:

a : x = x : (a – x)

ossia:

a/x = x/(a – x)

da cui:

x² = a(a – x)

Semplici passaggi permettono di ottenere l'equazione di secondo grado:

x² + ax – a² = 0

le cui soluzioni sono:

La soluzione positiva dell'equazione di secondo grado fornisce la lunghezza del segmento “x”, ossia la “sezione aurea” del segmento di lunghezza “a”:

Il rapporto tra la lunghezza “a” del segmento AB e la sua “sezione aurea” e' il “rapporto aureo”:

Il valore numerico del rapporto aureo e' il “numero aureo φ”:

COSTRUZIONE DELLA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO UNITARIO

• Si consideri il segmento AB di lunghezza uguale a 1;

• partendo da A, si tracci il segmento AP di lunghezza 1/2, perpendicolare al segmento AB;

• si colleghi il punto P con il punto B;

• il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo BAP, fornisce la lunghezza del segmento PB (ipotenusa del triangolo rettangolo), il cui valore e' √5/2;

• puntando un compasso in P con apertura PA, si riporti la lunghezza di AP sull'ipotenusa PB, come indicato in figura:

• la lunghezza della parte rimanente dell'ipotenusa sara': (√5/2 – 1/2);

• si riporti la lunghezza (√5/2 – 1/2) sul segmento AB.

Il segmento CB di lunghezza (√5 – 1)/2 = 0,618033... e' la sezione aurea di AB.

Il numero aureo e' dato dal rapporto tra il segmento unitario AB e la sua sezione aurea:

φ = 1/[(√5 – 1)/2] ~ 1,618...

IL RETTANGOLO AUREO

Il rettangolo aureo e' un rettangolo costruito con le proporzioni auree.

La figura che segue mostra come realizzarlo graficamente:

• si consideri inizialmente il quadrato di vertici AEFD;

• si tracci il segmento A'H che divide a meta' il lato DF ed il lato opposto superiore AE;

• si punti un compasso in A' con apertura A'E e, partendo da E, si tracci un arco destrorso;

• si prolunghi il segmento DF fino a determinare il punto C;

• si disegni il segmento CB perpendicolare a DC ed il segmento BE perpendicolare a EF.

Il rettangolo ABCD e' un rettangolo aureo nel quale il lato AB e' esattamente diviso dal punto E nella sezione aurea, ossia:

AB : AE = AE : EB

In un rettangolo aureo il rapporto tra il lato maggiore DC e quello minore DA e' il numero aureo φ.

LA SEZIONE AUREA ED IL PENTAGONO REGOLARE

Un poligono regolare ha lati ed angoli congruenti.

Sapendo che:

la somma degli angoli interni di un poligono regolare e' data dalla relazione

S_int = (n – 2) x 180⁰

dove “n” e' il numero dei lati del poligono,

si deduce che:

la somma degli angoli interni di un pentagono regolare e' 540⁰

quindi

ogni angolo interno di un pentagono regolare misura 108⁰ = 540⁰/5

Le diagonali di un pentagono regolare, ottenute unendo tutti i vertici opposti del poligono, danno luogo ad un pentagramma, ovvero ad una stella a cinque punte, emblema dei Pitagorici:

Pentagono regolare con relativo pentagramma.

Tra la geometria del pentagono regolare e la sezione aurea esiste una connessione che puo' essere dimostrata esaminando i triangoli ottenibili tracciando le diagonali del pentagono.

Si consideri inizialmente il triangolo EDC di figura 1:

Fig.1

Questo triangolo e' isoscele in quanto i suoi lati obliqui sono congruenti (ED = DC) ed anche gli angoli alla base sono congruenti, infatti, entrambi misurano 36⁰ = (180⁰ – 108⁰)/2. Lo stesso si puo' dire per i triangoli EAB, ABC, BCD, AED, individuabili all'interno del pentagono regolare, anch'essi triangoli isosceli.

Si prenda ora in esame il triangolo ECA di figura 2:

Fig.2

Questo triangolo e' isoscele poiche' le diagonali di un pentagono regolare sono congruenti, quindi CE = CA. Inoltre, in questo triangolo, entrambi gli angoli alla base misurano 72⁰ = 108⁰ - 36⁰, mentre il valore dell'angolo al vertice e' di 36⁰.

All'interno di un pentagono regolare ogni lato forma, con due diagonali, un triangolo isoscele con angoli alla base di 72⁰ e angolo al vertice di 36⁰.

Si focalizzi ora l'attenzione sul triangolo isoscele ADB, di figura 3, che ha le suddette caratteristiche:

Fig.3

Si tracci la bisettrice AE dell'angolo in A e si condideri il triangolo EAB. La bisettrice divide l'angolo in A (il cui valore e' di 72⁰) in due angoli di 36⁰; conoscendo il valore dell'angolo in B (72⁰), l'angolo in E misura 72⁰ = 180⁰ - 36⁰ - 72⁰. Il triangolo EAB, avendo due angoli congruenti, e' isoscele e quindi il segmento EA e' congruente al segmento BA (EA = BA). Inoltre, gli angoli di questo triangolo sono ordinatamente congruenti a quelli del triagolo ADB, quindi:

i triangoli ADB e EAB sono simili.

Anche il triangolo DEA, il cui angolo al vertice misura 108⁰ = 180⁰ - 36⁰ - 36⁰, e' isoscele poiche' i due angoli alla base sono congruenti, quindi EA = ED.

In definitiva si e' ottenuto che:

EA = BA

e che

EA = ED

quindi

BA = ED

Facendo nuovamente riferimento ai triangoli simili ADB e EAB, si puo' scrivere la seguente proporzione:

BA : BD = BE : BA

dato che:

il lato BD del triangolo ADB e' corrispondente al lato BA del triangolo EAB; infatti, i lati BD e BA sono lati opposti ad angoli uguali di 72⁰;

la base BA del triangolo ADB e' corrispondente alla base BE del triangolo EAB; infatti, BA e BE sono lati opposti ad angoli uguali di 36⁰.

Invertendo, nella proporzione precedente, i medi con gli estremi, si ha:

BD : BA = BA : BE

ma BA = ED, quindi:

BD : ED = ED : BE

Da questa proporzione si deduce che ED, parte del segmento BD, e' media proporzionale tra l'intero segmento BD e la restante parte BE. Quindi, per la definizione di sezione aurea di un segmento, si puo' dire che:

ED e' la sezione aurea del segmento BD

ma BD e' congruente a AD, percio'

ED e' anche la sezione aurea del segmento AD

Inoltre, essendo ED congruente ad EA, che a sua volta e' congruente a BA, si ha che:

BA e' la sezione aurea del segmento BD

cioe'

il lato di un pentagono regolare e' la sezione aurea di una delle sue diagonali

pertanto

il rapporto tra la diagonale BD del pentagono regolare ed il suo lato BA e' il numero aureo φ:

φ = BD/BA

Un ulteriore esame del triangolo isoscele DEA (figura3), i cui angoli alla base misurano 36⁰ e l'angolo al vertice misura 108⁰, permette di affermare che ogni lato minore (lato ED congruente al lato EA) e' “sezione aurea” del lato maggiore AD, cioe' della base. Pertanto, il rapporto tra la base AD di questo triangolo isoscele e uno dei due lati obliqui congruenti e' ancora il numero aureo.

Quindi

il triagolo isoscele DEA ed il triangolo isoscele ADB sono triangoli aurei poiche' per ciascuno di essi il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore e' uguale al numero aureo φ.

C'e' ancora da sottolineare che, se si tracciano tutte le diagonali di un pentagono regolare, si viene a formare, al centro, un altro pentagono regolare con altrettanti triangoli aurei. Questa procedura puo' essere iterata fino ad ottenere una serie infinita di pentagoni, pentagrammi e triangoli aurei, come indicato in figura:

Fig.4

LA SPIRALE AUREA

Si definisce “spirale aurea” una spirale logaritmica per la quale il rapporto costante tra raggi consecutivi e' il numero aureo φ = 1,618...

La spirale aurea e' una curva policentrica aperta che si sviluppa sulle partizioni di un rettangolo aureo. La sua costruzione geometrica puo' essere ottenuta nel seguente modo:

• All'interno di un rettangolo aureo si disegni un quadrato con il lato uguale al lato minore del rettangolo. La differenza tra le due figure geometriche sara' ancora un rettangolo aureo, i cui lati sono in rapporto aureo.

• Si ripeta questo procedimento per almeno cinque volte, al fine di ottenere un effetto visivo accettabile.

• Si posizioni la punta del compasso sul vertice B del quadrato che giace sul lato maggiore del rettangolo e si tracci l'arco AB che unisce gli estremi dei due lati del quadrato che formano l'angolo prescelto. Si ripeta questa operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

• Le successive partizioni ed il tracciamento dei relativi archi comporranno la spirale aurea, il cui sviluppo e' teoricamente infinito.

LA SPIRALE AUREA E LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

La spirale aurea si puo' ottenere, con buona approssimazione, utilizzando i numeri della successione di Fibonacci.

Di seguito vengono descritte le varie fasi che ne permettono la costruzione:

1. Si consideri inizialmente il quadrato ABCD di lati uguali a 1. Sul lato AB si costruisca il quadrato ABEF di lati ancora uguali a 1 e, fissando la punta del compasso in A, si tracci l'arco di circonferenza BF.

2. Sul lato DF = DA + AF = 1 + 1 = 2 si costruisca il quadrato FGHD e, fissando la punta del compasso in D, si tracci l'arco di circonferenza FH.

3. Sul lato CH = CD + DH = 1 + 2 = 3 si costruisca il quadrato CHIL e, fissando la punta del compasso in C, si tracci l'arco di circonferenza HL.

4. Sul lato EL = EC + CL = 2 + 3 = 5 si costruisca il quadrato LMNE e, fissando la punta del compasso in E, si tracci l'arco di circonferenza LN.

5. Sul lato GN = GE + EN = 3 + 5 = 8 si costruisca il quadrato NOPG e, fissando la punta del compasso in G, si tracci l'arco di circonferenza NP.

6. Sul lato PI = PG + GI = 8 + 5 = 13 si costruisca il quadrato PQRI e, fissando la punta del compasso in I, si tracci l'arco di circonferenza PR.

Iterando questo procedimento si ottiene la spirale aurea.