DEFINIZIONE DI FRATTALE

I frattali sono enti geometrici caratterizzati dall'avere una forma che non varia al variare della scala delle lunghezze.

In sostanza, se una piccola porzione dell'oggetto frattale viene ingrandita, utilizzando un opportuno fattore di scala, compaiono caratteristiche strutturali che riproducono esattamente quelle dell'oggetto stesso non ingrandito. La caratteristica per cui ingrandimenti successivi di piccole porzioni dell'oggetto mostrano sempre la stessa struttura e' detta auto-similarita' o autosomiglianza.

Il termine frattale deriva dal latino “fractus” (spezzato), come il termine “frazione”; quindi, dal punto di vista matematico, i frattali sono oggetti di dimensione frazionaria (non intera), compresa tra 0 e 3. Si possono avere frattali di dimensione 1,5 oppure 2,4 o ancora 0,3.

Il concetto di dimensione frazionaria fu introdotto nel 1918 dal matematico tedesco di origine ebraica Felix Hausdorff (1868 – 1942), per questo motivo le “dimensioni frattali” spesso sono dette “dimensioni di Hausdorff”.

Ad introdurre per la prima volta, nel 1975, il termine frattale fu il matematico, fisico ed ingegnere polacco naturalizzato francese Benoît Mandelbrot (1924 – 2010). L'insieme di Mandelbrot e' uno dei frattali piu' famosi:

Rappresentazione matematica dell'insieme di Mandelbrot.

La “forma frattale” risulta estremamente frastagliata, contrariamente a quanto accade nella geometria euclidea per le figure elementari, le quali presentano forme regolari e perdono la loro struttura se osservate usando piccole scale.

La geometria non euclidea che studia le strutture frattali e' detta “geometria frattale”.

Un tipico esempio di applicazione della geometria frattale e' rappresentato dallo studio delle fasce costiere, per le quali determinare l'effettiva lunghezza e' un compito molto complesso. Infatti, se si prova a misurare la lunghezza di una costa particolarmente frastagliata, ci si rende conto che, all'aumentare della precisione della misura, appaiono strutture simili a quelle incontrate utilizzando scale sempre piu' piccole. Inoltre, la lunghezza delle fasce costiere cresce senza mai convergere ad un valore ben determinato.

CURVA DI VON KOCH

La curva di Helge von Koch o “fiocco di neve di von Koch” e' una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. Essa apparve per la prima volta nel 1904, su un documento del matematico svedese Helge von Koch (1870 – 1924) intitolato ”Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire”.

Nella figura che segue sono riportate le prime tre iterazioni della curva di von Koch:

Fig.1

La procedura ricorsiva che permette di costruire geometricamente la curva di Helge von Koch e' riassunta nei seguenti passaggi:

1. si parte da un triangolo equilatero di lato uguale a 1;

2. ogni lato del triangolo equilatero viene diviso in tre segmenti di uguale lunghezza;

3. il segmento centrale di ciascun lato del triangolo equilatero viene sostituito da altri due segmenti che hanno la stessa lunghezza del segmento eliminato e che vegono disposti in modo da formare un angolo di 60⁰, come evidenziato nell'immagine al centro della Fig.1. In definitiva, su ciascun lato del triangolo equilatero di partenza ci saranno 4 segmenti. La figura cosi' generata corrisponde ad una stella a sei punte, formata da un totale di 12 segmenti;

4. il procedimento appena descritto viene applicato a ciascuno dei 12 segmenti che formano la stella a sei punte, come evidenziato nell'immagine di destra della Fig.1;

5. ripetendo lo stesso procedimento n volte, con n tendente all'infinito, si otterranno figure successive dai contorni sempre piu' frastagliati;

6. la figura finale e' il frattale.

Tutti i passaggi che precedono la costruzione del frattale completo sono detti “prefrattali”.

La particolarita' della curva di von Koch e' il suo perimetro infinito, mentre l'area in essa racchiusa e' finita.

La dimensione frattale della curva di von Koch e' data dalla relazione:

D = lnN/lnR = log4/log3 ~ 1,262

dove compare l'espressione generale della “dimensione secondo Hausdorff”, cioe':

D = lnN/lnR

N e' il numero di pezzi nei quali il frattale puo' essere spezzato, in modo che ogni pezzo sia simile al frattale iniziale.

R e' il fattore di riduzione (nel caso del fiocco di neve di von Koch i lati vengono divisi ogni volta per 3).

La dimensione del fiocco di neve di von Koch e' intermedia tra una linea ed una superficie. Piu' la dimensione si avvicina a 2 e piu' il frattale tendera' a ricoprire uniformemente una superficie. Invece, man mano che la dimensione si avvicina ad 1 il frattale assomigliera' sempre piu' ad una semplice linea.

FRATTALI E NATURA

La natura che ci circonda fornisce ad alcuni oggetti forme approssimativamente simili a quelle dei frattali. Ecco alcuni esempi:

• un albero di abete, nel quale ogni ramo e' approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto e' simile al proprio ramo;

• il profilo geomorfologico delle montagne e delle nubi;

• le fasce costiere, caratterizzate da un profilo fatto di sporgenze e rientranze;

• i cristalli di ghiaccio che presentano una varieta' di forme altamente simmetriche:

  Foto di Wilson Bentley.

• alcune foglie, come quelle di una felce:

  Foto di una felce realeImmagine di una felce generata al computer per autosomiglianza.

• alcuni ortaggi, come il cavolfiore romanesco:

  In questo tipo di cavolfiore ogni cespo, oltre ad essere una copia fedele dell'intero ortaggio, appare indistinguibile da esso se osservato con una lente d'ingrandimento. Tuttavia, anche se ogni germoglio e' composto da una serie di germogli piu' piccoli, il modello non raggiunge mai dimensioni infinitesimali.

FRATTALI, SPIRALI E NUMERO AUREO

L'elemento base dei frattali e' rappresentato dalle spirali. In particolare, la spirale logaritmica e' considerata un frattale per la sua proprieta' di autosomiglianza.

Tra le immagini piu' belle di frattali ce ne sono alcune la cui forma richiama quella della spirale aurea. Un esempio e' dato dal famoso insieme di Mandelbrot, che, al suo interno, ha la sequenza di Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Cio' permette di affermare che la spirale di Mandelbrot deriva dalla spirale aurea, che puo' essere ottenuta, con buona approssimazione, utilizzando i numeri della successione di Fibonacci. Il legame tra successione di Fibonacci e numero aureo e' dato dal rapporto tra due termini consecutivi della successione; infatti, questo rapporto tende ad approssimare sempre meglio il numero aureo φ = 1,618033.... man mano che si procede nella serie dei numeri interi positivi appartenenti alla successione.

Dettaglio della spirale di Mandelbrot Dettaglio di un'isola.

Un altro esempio del legame esistente tra i concetti di frattale, successione di Fibonacci e numero aureo e' il cavolfiore romanesco. Infatti, la crescita frattale dei germogli di questo ortaggio avviene secondo una spirale logaritmica; inoltre, il numero di spirali sulla testa dell'ortaggio corrisponde proprio ad un numero di Fibonacci (8,13):